Kartezyen çarpımı

[.......]

KARTEZYEN ÇARPIM – BAĞINTI

A. SIRALI n Lİn tane nesnenin belli bir öncelik sırasına göre düzenlenip tek bir nesne gibi düşünülmesiyle elde edilen ifadeye sıralı n li denir.
(a b) sıralı ikilisinde;
a : Birinci bileşen
b : İkinci bileşendir.

a ¹ b ise (a b) ¹ (b a) dır.
(a b) = (c d) ise (a = c ve b = d) dir.
*
B. KARTEZYEN ÇARPIM
A ve B herhangi iki küme olmak üzere birinci bileşeni A kümesinden ikinci bileşeni B kümesinden alınarak oluşturulan bütün sıralı ikililerin kümesine A ile B nin kartezyen çarpımı denir.
A kartezyen çarpım B kümesi A x B ile gösterilir.
A x B = {(x y) : x Î A ve y Î B** dir.

A ¹ B ise A x B ¹ B x A dır.
*
C. KARTEZYEN ÇARPIMININ ÖZELİKLERİ** I)* s(A) = m ve s(B) = n ise
****** s(A x B) = s(B x A) = m . n dir.
* II) A x (B x C) = (A x B) x C
*III) A x (B È C) = (A x B) È (A x C)
*IV) (B È C) x A = (B x A) È (C x A)
* V) A x (B Ç C) = (A x B) Ç (A x C)
*VI) A x Æ = Æ x A = Æ
VII)
*
*
D. BAĞINTI
A ve B herhangi iki küme olmak üzere A x B nin her alt kümesine A dan B ye bağıntı denir.
Bağıntı genellikle b biçiminde gösterilir.
b Ì A x B ise b = {(x y) : (x y) Î A x B** dir.
*
** s(A) = m ve s(B) = n ise
*** A dan B ye 2m.n tane bağıntı tanımlanabilir.
*
** A x A nın herhangi bir alt kümesine A dan A ya bağıntı ya da A da bağıntı denir.
*
** s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere
*** A dan B ye tanımlanabilen r elemanlı (r £ m . n) bağıntı sayısı
***
*
** b Ì A x B olmak üzere
*** b = {(x y) : (x y) Î A x B** bağıntısının tersi
*** b-1 Ì B x A dır.
*** Buna göre b bağıntısının tersi
*** b-1 = {(y x) : (x y) Î b** dır.
*
E. BAĞINTININ ÖZELİKLERİb A da tanımlı bir bağıntı olsun.
*
1. Yansıma Özeliği
A kümesinin bütün x elemanları için (x x) Î b ise b yansıyandır.
"x Î A için (x x) Î b ª b yansıyandır.
*
2. Simetri Özeliği
b bağıntısının bütün (x y) elemanları için (y x) Î b ise b simetriktir.
"(x y) Î b için (y x) Î b ª b simetriktir.
*
** b bağıntısı simetrik ise b = b-1 dir.
** s(A) = n olmak üzere A kümesinde tanımlanabilecek simetrik bağıntı sayısı dir.
** s(A) = n olmak üzere A kümesinde tanımlanabilecek yansıyan bağıntı sayısı 2(n.n - n) dir.
*
3. Ters Simetri Özeliği
b bağıntısı A kümesinde tanımlı olsun.
x ¹ y iken "(x y) Î b için (y x) Ï b ise b ters simetriktir.
*

b bağıntısında (x x) elemanın bulunması ters simetri özeliğini bozmaz.
*
4. Geçişme Özeliği
b A da tanımlı bir bağıntı olsun.

olmalı
b bağıntısının geçişme özelliği vardır.
*
F. BAĞINTI ÇEŞİTLERİ1. Denklik Bağıntısı
b bağıntısı A kümesinde tanımlı olsun.
b; Yansıma Simetri Geçişme özelliğini sağlıyorsa denklik bağıntısıdır.
*
* *b denklik bağıntısı ve (x y) Î b ise x denktir. y ye denir.
*** x º y biçiminde gösterilir.
*
** b denklik bağıntısı olmak üzere A da a elemanına denk olan bütün elemanların kümesine a nın denklik sınıfı denir.
*** biçiminde gösterilir.
*** Buna göre a nın denklik sınıfının kümesi
*** = {y : y Î A ve (a y) Î b** olur.
*
2. Sıralama Bağıntısı
A kümesinde tanımlı b bağıntısında; Yansıma Ters simetri Geçişme özelliği varsa bağıntı sıralama bağıntısıdır.